Kvadrat nekog realnog broja $x$ u oznaci $x^2$ je proizvod $x \cdot x$.
Klasični postupak kvadriranja dvocifrenog broja (npr. broja 22) je sljedeći:
$22^2 = 22 \cdot 22 = 22 \cdot (20 + 2) = 22 \cdot 20 + 22 \cdot 2 = 440 + 44 = 484.$
To je jednostavan način, ali zahtjeva malo više vremena. Međutim, postoji jednostavniji i brži način za kvadriranje dvocifrenih brojeva napamet. To omogućava sljedeća formula:
$(x + a) \cdot (x − a) + a^2 = x^2 − a^2 + a^2 = x^2.$
Kvadriranje broja $22$ tim postupkom izgledalo bi ovako:
$22^2 = (22 – 2) \cdot (22 + 2) + 2^2 = 20 \cdot 24 + 4 = 480 + 4 = 484.$
Prethodna formula govori sljedeće: broj koji se kvadrira, $x$, treba zaokružiti na njemu najbližu deseticu, u ovom slučaju $20$, i to je $x – a$, a zatim izračunati $x + a$, tj. treba uvećati broj $x$ za vrijednost zaokruživanja. Kad se izračuna $(x + a) \cdot (x − a)$, na tu vrijednost dodaje se kvadrat vrijednosti zaokruživanja, $a^2$. Pošto $a$ može imati vrijednost $1$, $2$, $3$ ili $4$, $a^2$ je uvijek $1$, $4$, $9$ ili $16$.
To znači da se kvadrat svakog dvocifrenog broja može izračunati tako što se prvo pomnoži njemu najbliža desetica i odgovarajući dvocifreni broj (što je prilično lahko, jer kada se nula prepiše na kraju, to množenje se svodi na množenje jednocifrenog i dvocifrenog broja), a zatim na dobivenu vrijednost se doda kvadrat vrijednosti zaokruživanja.
Primjeri
- $16^2 = 20 \cdot 12 + 16 = 240 + 16 = 256$
- $34^2 = 30 \cdot 38 + 16 = 1140 + 16 =1156$
- $61^2 = 60 \cdot 62 + 1 = 3720 + 1 = 3721$
- $77^2 = 80 \cdot 74 + 9 = 5920 + 9 = 5929$
- $83^2 = 80 \cdot 86 + 9 = 6880 + 9 = 6889$
Za dvocifrene brojeve koji se završavaju sa $5$ princip je isti, ali je postupak još jednostavniji. Posljednje dvije cifre uvijek su $25$, a prvu cifru treba pomnožiti brojem koji je za jedan veći od nje.
Primjeri
- $15^2 = 10 \cdot 20 + 52 = 200 + 25 = \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{25} (1 \cdot 2 = \textcolor{red}{2} \textrm{ i doda se } \textcolor{blue}{25})$
- $25^2 = 20 \cdot 30 + 52 = 600 + 25 = \textcolor{red}{6}\textcolor{blue}{25} (2 \cdot 3 = \textcolor{red}{6} \textrm{ i doda se } \textcolor{blue}{25})$
- $45^2 = 40 \cdot 50 + 52 = 2000 + 25 = \textcolor{red}{20}\textcolor{blue}{25} (4 \cdot 5 = \textcolor{red}{20} \textrm{ i doda se } \textcolor{blue}{25})$
- $65^2 = 60 \cdot 70 + 52 = 4200 + 25 = \textcolor{red}{42}\textcolor{blue}{25} (6 \cdot 7 = \textcolor{red}{42} \textrm{ i doda se } \textcolor{blue}{25})$
- $75^2 = 70 \cdot 80 + 52 = 5600 + 25 = \textcolor{red}{56}\textcolor{blue}{25} (7 \cdot 8 = \textcolor{red}{56} \textrm{ i doda se } \textcolor{blue}{25})$
Za brojeve od $91$ do $99$ može se raditi po istom principu, ali zaokruživanjem svih brojeva na $100$ (umjesto na $90$ za brojeve od $91$ do $94$), postupak se još više pojednostavljuje.
Primjeri
- $92^2 = \textcolor{red}{84} \cdot 100 + 8^2 = 8400 + \textcolor{blue}{64} = \textcolor{red}{84}\textcolor{blue}{64}$
- $94^2 = \textcolor{red}{88} \cdot 100 + 6^2 = 8800 + \textcolor{blue}{36} = \textcolor{red}{88}\textcolor{blue}{36}$
- $97^2 = \textcolor{red}{94} \cdot 100 + 3^2 = 9400 + \textcolor{blue}{09} = \textcolor{red}{94}\textcolor{blue}{09}$
- $98^2 = \textcolor{red}{96} \cdot 100 + 2^2 = 9600 + \textcolor{blue}{04} = \textcolor{red}{96}\textcolor{blue}{04}$
- $99^2 = \textcolor{red}{98} \cdot 100 + 1^2 = 9800 + \textcolor{blue}{01} = \textcolor{red}{98}\textcolor{blue}{01}$
U suštini, od broja koji se kvadrira oduzme se razlika do $100$ i zatim doda kvadrat te razlike. Pošto se zaokružuje na 100, kvadrat vrijednosti zaokruživanja mora imati dvije cifre u zapisu, što znači da pišemo $1^2 = 01$, $2^2 = 04$, $3^2 = 09$.
Uz dovoljno vježbe, svaki dvocifreni broj može se kvadrirati napamet za kratko vrijeme.
