Zhang Qiujian je matematičar drevne Kine iz 5. stoljeća koji je napisao knjigu matematičkih problema Zhang Qiujian suanjing (Matematički priručnik Zhanga Qiujiana).
Jedan od najpoznatijih neodređenih problema u toj knjizi je “Problem sto ptica”.
Zhangov izvorni “Problem sto ptica”
Problem sto ptica kako je predstavljen u Zhang Qiujian suanjingu može se prevesti na sljedeći način:
Pijetao vrijedi 5 kovanica, kokoš 3 kovanice, a 3 pilića 1 kovanicu. Sa 100 kovanica kupili smo 100 ptica. Koliko pijetlova, kokoši i pilića smo kupili?
Zhang je dao tri odgovora: 4 pijetla, 18 kokoši, 78 pilića; 8 pijetlova, 11 kokoši, 81 pilića; 12 pijetlova, 4 kokoši, 84 pilića.
Međutim, on je samo ukazivao na metodu:
Povećati broj pijetlova svaki put za 4; smanjiti broj kokoši svaki put za 7 i povećati broj pilića svaki put za 3:” Naime, Zhang je naveo da se promjenom vrijednosti na taj način čuvaju i troškovi i broj ptica.
Istovremeno, nije navedena niti jedna općenita metoda za rješavanje takvih problema, što dovodi do sumnje jesu li rješenja dobivena metodom pokušaja i pogrešaka.
Matematička formulacija i rješenje problema
Sa $x$ označimo broj pijetlova, sa $y$ broj kokoši, a sa $z$ broj pilića, i tako dobivamo sistem od dvije jednačine sa tri nepoznate:
$5x + 3y + \frac{1}{3}z=100$
$x + y + z = 100$
Očito su prihvatljive samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. Izražavajući $y$ i $z$ preko $x$ dobivamo sistem:
$y = 25 – \frac{7}{4}x$
$z = 75 + \frac{3}{4}x$
Budući da $x$ , $y$ i $z$ moraju biti cijeli brojevi, iz izraza za $y$ i $z$ slijedi da $x$ mora biti djeljiv sa 4, tj. oblika $4t$, gdje je $t$ cjelobrojni parametar.
Stoga se opće rješenje sistema jednačina može izraziti pomoću $t$ na sljedeći način:
$x = 4t$
$y = 25 – 7t$
$z = 75 + 3t$
Kako je $y$ nenegativan cijeli broj, jedine moguće vrijednosti za $t$ su 0, 1, 2 i 3. Dakle, sva rješenja su:
$(x , y , z) = (0, 25, 75),$
$(x , y , z) = (4, 18, 78),$
$(x , y , z) = (8, 11, 81),$
$(x , y , z) = (12, 4, 84).$
Problem sto ptica pronađen u Zhang Qiujian suanjingu poseban je slučaj općeg problema pronalaska cjelovitih rješenja sljedećeg sistema jednačina:
$x + y + z = d$
$ax + by + cz = d$
Bilo koji problem ove vrste ponekad se naziva “Problem sto ptica”, za čiji naziv je zaslužan belgijski historičar Louis van Hee.
Ovaj problem i njegove varijante kasnije su se pojavili i u srednjovjekovnoj matematičkoj literaturi Indije, Europe i arapskog svijeta.
Tekst pripremio: Mirnes Smajilović, prof. matematike
